Noesworthy

ガウス消去

03 Dec, 2025

こういう行列の解き方

[\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 8 & 8 \\ 5 & 0 & - 5 & 10 \end{matrix}]

方程式にするとこんな感じ

$x - 2 y + z = 0$

$2 y - 8 z = 8$

$5 x - 5 z = 10$

基本的な考え方は左3列(x, y, z)の横一行につき一個 数を残すように操作していく

まず、左下の5を消去

$R 3 - 5 R 1$ で

[\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 8 & 8 \\ 0 & 10 & - 10 & 10 \end{matrix}]

この時点でR2を2、R3を10でわっちゃお

[\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

次にR3の左から二番目の1を消去

$R 3 - R 2$ で

[\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

R1の真ん中の-2を消去

$R 1 + 2 R 2$ で

[\begin{matrix} 1 & 0 & 8 & 8 \\ 0 & 1 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

R1の右の8を消去

$R 1 - (8 / 3) R 3$ で

[\begin{matrix} - 5 / 3 & 0 & 0 & 16 / 3 \\ 0 & 1 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

R1を整えて

[\begin{matrix} - 5 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

R2の右の-4も消去

$R 2 + (4 / 3) R 3$

[\begin{matrix} - 5 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 1 & 0 & 16 / 3 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

R2整えて

[\begin{matrix} - 5 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 3 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 3 & - 3 \end{matrix}]

てことで

$- 5 x = 16$

$3 y = 16$

$3 z = - 3$

のはずなんだけど絶対値ずれてる気がする...w

大事なことはR同士は足し算したり引き算しても大丈夫っていうこと

最初ぴんとこなかったけど、

たしかに、x円の商品が3個、y円の商品が5個あって、あわせて1000円

x円の商品が4個、y円の商品が7個あって、あわせて2000円

だったら

$3 x + 5 y = 1000$

$4 x + 7 y = 2000$

の二つをたしちゃって

$7 x + 12 y = 3000$

にしてもあんまり世界観変わらないきがするね